Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая
середина
Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1; l2; …; ln одной
и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю
арифметическую величину L из всех результатов.
.
Если истинное значение измеряемой величины х, то
абсолютные ошибки будут равны:
Δ1= l1- х;
Δ2= l2- х;
………;
Δ n= ln- х,
________
[Δ] = [l] – nx.
Из
суммы равенств получим, что .
В
соответствии со свойством 4 случайных ошибок, с увеличением числа измерений
величина при n → ∞.
Следовательно, при бесконечно большом числе измерений, среднее арифметическое L будет стремиться к истинному значению измеряемой
величины х.
Величина при конечном числе
измерений будет вероятнейшим значением определяемой величины, называемой
арифметической серединой. Разность между результатом измерения и средним
арифметическим называют уклонением от арифметической середины или
вероятнейшими ошибкамиυ, т. е. l1 - L = υ1.
Сумма
вероятнейших ошибок равняется нулю , если величина среднего арифметического не имела округлений.
В
топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в основном
применяют среднюю квадратическую ошибку и относительную ошибку.
Среднюю
квадратическую ошибку отдельного результата измерения m вычисляют по
формуле Гаусса: .
Формулу
Гаусса можно использовать, когда известно истинное значение измеренной
величины, а для оценки точности величин, истинное значение которых неизвестно,
применяется формула Бесселя , где υ–
вероятнейшая ошибка.
Среднюю квадратическую ошибку арифметической
середины Мвыражают через среднюю
квадратическую ошибку mотдельного измерения, т. е. .
Таким образом, средняя квадратическая ошибка
арифметической середины из результатов равноточных измерений в раз меньше средней
квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки
измерения, например, в 2 раза, количество измерений необходимо увеличить в 4
раза.
Применительно к конкретным условиям указывают
критерий отбраковки результатов измерений. В качестве такого критерия служит предельная
ошибка. Для наиболее значимых измерений применяются повышенные требования
к точности и величину предельной ошибки принимают равной 2m,
т. е. Δпр.= 2m (удвоенное значение средней квадратической
ошибки. Для менее значимых измерений принимается величина предельной ошибки
равная 3m, т. е. Δпр.=3m (утроенное значение
средней квадратической ошибки).
Пример,
если при угловых измерениях m = 5˝, то «по правилу 2m»отбраковываются все результаты, значения
которых по абсолютной величине больше 10˝, а применительно к «правилу 3m»
отбраковываются – больше 15˝.
Для
суждения о точности многих измерений недостаточно определения величины
абсолютной ошибки, необходимо еще знать значение самой измеряемой величины.
Так, для получения представления о точности линейных, площадных и других
измерений применяется относительная ошибка.
Относительная
ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к
результату измерения. Относительную ошибку принято выражать простой дробью,
числитель которой равен единице.
– для отдельного
результата измерений
–дляарифметической середины.
Значение
знаменателя принято округлять до двух значимых цифр. Чем больше знаменатель,
тем выше точность выполненных работ.
Рассмотрим
пример. Измерены две линии: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой 0,17 м, другая – длиной 390 м со средней
квадратической ошибкой 0,23 м, т. е. L1
= 220 м,
m1=0,17 м,L2 = 390 м, m2=0,23 м. Какая из линий измерена точнее?
Подставив
результаты измерений и вычислений в вышеприведенные формулы,получим,что
относительная ошибка в первом случае будет равна , а во втором – . Следовательно, вторая линия измерена точнее, несмотря на
большую величину абсолютной ошибки.